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Hello~大家好，可能同学们也发现了，由于国内外教育方式的不同，很多课程上的知识点无法自己梳理清楚，笔记也记录的不是特别全面。今天学姐为同学们分享数学专业相关理论，希望可以帮助广大留学生梳理思路，学姐整理了非常详细的流程细节可以参考。

　　主要学习目标

1、确定微分方程的阶。

2、解释微分方程的解是什么意思。

3、区分微分方程的通解和特解。

4、确定一个初始值问题。

5、确定给定的函数是微分方程的解还是初值问题。

微积分是变化的数学，变化率用导数表示。因此，使用微积分最常见的方法之一是建立一个包含未知函数的方程 y=f(x) 及其导数，称为微分方程。求解这样的方程通常提供关于量如何变化的信息，并且经常提供关于变化如何以及为什么发生的洞察。

求解微分方程的技术可以采取许多不同的形式，包括直接求解、使用图形或计算机计算。我们在本章中介绍了主要思想，并在课程的后面更详细地描述了它们。在本节中，我们研究什么是微分方程，如何验证它们的解，一些用于求解它们的方法，以及一些常见和有用的方程的例子。

一般微分方程

考虑一下等式 y'=3x2, 这是一个微分方程的例子，因为它包含一个导数。变量之间是有关系的 x 和 y:y 是的未知函数 x 。此外，方程的左手边是 y 。因此我们可以这样解释这个方程:从某个函数开始 y=f(x) 取它的导数。答案必须等于 3x2 。什么函数的导数等于 3x2 ?其中一个功能是 y=x3 ，所以这个函数被认为是解决办法微分方程。

一般和特殊解决方案

我们已经注意到微分方程 y'=2x 至少有两种解决方案: y=x2 和 y=x2+4 。这两个解唯一的区别就是最后一项，是常数。如果最后一项是不同的常数呢?这个表达式还会是微分方程的解吗?事实上，任何形式的功能 y=x2+C ，哪里 C 代表任何常数，也是一种解决方案。原因是，的导数 x2+C 存在 2x ，不考虑的值 C 。可以看出，这个微分方程的任何解都必须是 y=x2+C 。这是一个通解微分方程。这些解决方案的图表如图所示 8.1.1 。(注意:在这个图中，我们使用了介于之间的偶数整数值 −4 和 4 。事实上，对的价值没有限制 C ;它可以是整数，也可以不是。)

在这个例子中，我们可以自由选择任何我们希望的解决方案;例如， y=x2−3 是这个微分方程解族的一员。这叫做微分方程的特殊解。如果给我们关于问题的额外信息，一个特定的解决方案通常可以被唯一地识别。

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